جواب کاردرکلاس صفحه36 فصل2 ریاضی یازدهم

پاره‌خط $PQ$ موازی ضلع $BC$ در مثلث $\triangle ABC$ است ($PQ \parallel BC$). از این شرط، دو رابطهٔ اساسی به دست می‌آید: 1. **قضیهٔ تالس (تقسیم اضلاع)**: $$\frac{AP}{PB} = \frac{AQ}{QC}$$ 2. **تعمیم قضیهٔ تالس (نسبت به اضلاع کامل و موازی)**: $$\frac{AP}{AB} = \frac{AQ}{AC} = \frac{PQ}{BC}$$ بر اساس این دو رابطه، درستی یا نادرستی عبارات زیر را بررسی می‌کنیم: * **الف) $\frac{AP}{PB} = \frac{AQ}{QC} = \frac{PQ}{BC}$** * **بررسی**: $\frac{AP}{PB} = \frac{AQ}{QC}$ صحیح است (قضیهٔ تالس). اما $\frac{AP}{PB}$ لزوماً برابر با $\frac{PQ}{BC}$ نیست. نسبت $\frac{PQ}{BC}$ با $\frac{AP}{AB}$ برابر است، نه $\frac{AP}{PB}$. * **نتیجه**: **نادرست** * **ب) $\frac{AP}{AB} = \frac{AQ}{AC} = \frac{PQ}{BC}$** * **بررسی**: این عبارت دقیقاً **تعمیم قضیهٔ تالس** است. * **نتیجه**: **درست** * **پ) $\frac{PB}{AP} = \frac{QC}{AC}$** * **بررسی**: از قضیهٔ تالس $\frac{AP}{PB} = \frac{AQ}{QC}$، نتیجه می‌شود $\frac{PB}{AP} = \frac{QC}{AQ}$ (معکوس کردن). اما $\frac{PB}{AP}$ برابر $\frac{QC}{AC}$ نیست. * **نتیجه**: **نادرست** * **ت) $\frac{PB}{AB} = \frac{QC}{AC} = \frac{PQ}{BC}$** * **بررسی**: این عبارت با تفضیل $1$ از تعمیم قضیهٔ تالس (ب) به دست می‌آید: $1 - \frac{AP}{AB} = \frac{AB - AP}{AB} = \frac{PB}{AB}$. پس $\frac{PB}{AB} = \frac{QC}{AC}$ صحیح است. اما نسبت‌های $\frac{PB}{AB}$ و $\frac{PQ}{BC}$ برابر نیستند (چرا که $\frac{PQ}{BC}$ با $\frac{AP}{AB}$ برابر است و $\frac{AP}{AB} \neq \frac{PB}{AB}$). * **نتیجه**: **نادرست** * **ث) $\frac{PB}{AB} = \frac{QC}{AC}$** * **بررسی**: با تفضیل نسبت از $1$ در تعمیم قضیهٔ تالس (ب): $$1 - \frac{AP}{AB} = 1 - \frac{AQ}{AC} \Rightarrow \frac{AB - AP}{AB} = \frac{AC - AQ}{AC} \Rightarrow \frac{PB}{AB} = \frac{QC}{AC}$$ * **نتیجه**: **درست** * **ج) $\frac{AB}{AP} = \frac{AC}{AQ} = \frac{BC}{PQ}$** * **بررسی**: این عبارت **معکوس** تعمیم قضیهٔ تالس (ب) است. * **نتیجه**: **درست**